在數(shù)學分析中，探討函數(shù)的導數(shù)是理解其變化規(guī)律的重要手段之一。今天，我們來深入研究一個有趣的問題——2倍cos2x的導數(shù)是什么？
首先，讓我們明確問題中的表達式為 \( y = 2 \cos^2(x) \)。這是一個復(fù)合函數(shù)，其中包含三角函數(shù)與冪運算的結(jié)合。為了求解其導數(shù)，我們需要運用鏈式法則和基本的微分公式。
根據(jù)鏈式法則，若 \( y = f(g(x)) \)，則 \( y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)。在此題中，可以將 \( \cos^2(x) \) 看作一個整體，即 \( u = \cos(x) \)，因此 \( y = 2u^2 \)。接下來分步計算：
1. 對 \( u = \cos(x) \)，我們知道 \( u' = -\sin(x) \)。
2. 再對 \( y = 2u^2 \)，利用冪函數(shù)求導公式 \( (x^n)' = nx^{n-1} \)，得到 \( y' = 4u \cdot u' \)。
將上述結(jié)果代入并化簡：
\[
y' = 4 \cos(x) \cdot (-\sin(x))
\]
進一步簡化為：
\[
y' = -4 \cos(x) \sin(x)
\]
根據(jù)三角恒等式 \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \)，可以將結(jié)果改寫為：
\[
y' = -2 \sin(2x)
\]
因此，2倍cos2x的導數(shù)等于 -2sin(2x)。
這個過程不僅展示了如何通過鏈式法則處理復(fù)合函數(shù)，還體現(xiàn)了數(shù)學推導中的簡潔美。希望這篇解析能夠幫助大家更好地掌握此類問題的解決方法！
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