為了理解這個(gè)定理的證明過(guò)程，我們可以從一些基本概念入手。首先，考慮集合 \( S = \{1, 2, 3, ..., p-1\} \)，這個(gè)集合包含了所有小于 \( p \) 的正整數(shù)，并且這些數(shù)都不包含 \( p \) 的因數(shù)。接下來(lái)，我們考察集合 \( T = \{a, 2a, 3a, ..., (p-1)a\} \)，即每個(gè)元素都是 \( a \) 乘以集合 \( S \) 中的某個(gè)元素。
由于 \( a \) 和 \( p \) 互質(zhì)（即它們的最大公約數(shù)為 1），因此當(dāng)我們將 \( T \) 中的每個(gè)元素對(duì) \( p \) 取模時(shí)，得到的結(jié)果仍然是 \( \{1, 2, 3, ..., p-1\} \) 的一個(gè)排列。換句話說(shuō)，集合 \( T \) 模 \( p \) 后與集合 \( S \) 等價(jià)。
基于上述觀察，我們可以寫(xiě)出以下等式：
\[ a \cdot 2a \cdot 3a \cdot ... \cdot (p-1)a \equiv 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (p-1) \pmod{p} \]
簡(jiǎn)化后得到：
\[ a^{p-1} \cdot (p-1)! \equiv (p-1)! \pmod{p} \]
由于 \( (p-1)! \) 不為零且與 \( p \) 互質(zhì)，我們可以兩邊同時(shí)除以 \( (p-1)! \)，從而得出：
\[ a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \]
這就完成了費(fèi)馬小定理的證明過(guò)程。通過(guò)這一推導(dǎo)，我們可以看到，費(fèi)馬小定理實(shí)際上是基于數(shù)論中的一些基本性質(zhì)和模運(yùn)算規(guī)則得出的結(jié)論。這一理論不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，也在密碼學(xué)等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用。
