在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，卡丹公式（Cardano's Formula）是一種用來求解三次方程的方法。這一公式的提出標(biāo)志著代數(shù)學(xué)的一個重要進(jìn)步，因?yàn)樗状蜗到y(tǒng)地解決了三次方程的通用解法問題。接下來，我們將詳細(xì)推導(dǎo)出卡丹公式的全過程。
一、一般形式的三次方程
我們首先考慮一個一般形式的三次方程：
\[ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \]
為了簡化計算，我們可以將方程標(biāo)準(zhǔn)化為沒有二次項(xiàng)的形式。這可以通過變量替換 \( x = y - \frac{3a} \) 實(shí)現(xiàn)。經(jīng)過這樣的替換后，方程變?yōu)椋?/p>
\[ y^3 + py + q = 0 \]
其中：
\[ p = \frac{3ac - b^2}{3a^2}, \quad q = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3} \]
這樣我們就得到了一個簡化后的三次方程。
二、引入輔助變量
為了進(jìn)一步簡化求解過程，我們引入一個新的變量 \( z \)，使得：
\[ y = z - \frac{p}{3z} \]
將這個表達(dá)式代入到簡化后的三次方程中，得到：
\[ \left( z - \frac{p}{3z} \right)^3 + p\left( z - \frac{p}{3z} \right) + q = 0 \]
展開并整理后，可以得到一個關(guān)于 \( z^3 \) 的方程：
\[ z^6 + qz^3 - \frac{p^3}{27} = 0 \]
這是一個關(guān)于 \( z^3 \) 的二次方程。令 \( w = z^3 \)，則上述方程變?yōu)椋?/p>
\[ w^2 + qw - \frac{p^3}{27} = 0 \]
三、求解 \( w \)
利用二次方程的求根公式，我們可以求得 \( w \) 的兩個值：
\[ w = \frac{-q \pm \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2} \]
這里需要注意的是，當(dāng)判別式 \( q^2 + \frac{4p^3}{27} < 0 \) 時，方程有三個實(shí)根；否則，可能有兩個共軛復(fù)根和一個實(shí)根。
四、回代求解 \( y \)
對于每一個 \( w \)，我們可以找到對應(yīng)的 \( z \) 值：
\[ z = \sqrt[3]{w} \]
然后通過 \( y = z - \frac{p}{3z} \) 求得 \( y \) 的值。最后，根據(jù)原始的變量替換關(guān)系 \( x = y - \frac{3a} \)，即可得到原方程的所有解。
結(jié)論
通過上述步驟，我們完成了卡丹公式對三次方程的完整推導(dǎo)過程。這種方法雖然復(fù)雜，但它為解決高次方程奠定了基礎(chǔ)，并啟發(fā)了后來更高效的數(shù)值方法的發(fā)展。
請注意，在實(shí)際應(yīng)用中，卡丹公式可能會遇到數(shù)值穩(wěn)定性的問題，因此現(xiàn)代計算機(jī)科學(xué)中通常采用數(shù)值算法來處理此類問題。
